Binaire - Bilan
Prérequis sur les puissances⚓︎
QCM à refaire tant que nécessaire ...
-
\(2^3=\)
- 9
- 8
- Je ne sais pas
- 6
-
\(3^2=\)
- 9
- 8
- Je ne sais pas
- 6
-
\(2^0=\)
- 0
- 1
- Impossible
- 2
-
\(2^1=\)
- 0
- 1
- Je ne sais pas
- 2
-
\(0^3=\)
- 0
- 1
- Impossible
- 3
-
\(16^3 \times 16^2=\)
- \(16^5\)
- \(16^6\)
- Je ne sais pas
- 2
-
\(16^0\times 16^2=\)
- $16^0
- $16^2
- Je ne sais pas
- 16
- 1
-
\(2^3+2^4=\)
- \(2^7\)
- \(2^{12}\)
- Je ne sais pas
- 24
Les bases numériques⚓︎
Numération de position
C’est celle que nous utilisons actuellement tous les jours :
\(2023 = 2 \times 1000 + 0 \times 100 + 2 \times 10 + 3 \times 1\).
Ou encore : 2023 est égal à 2 milliers, 0 centaines, 2 dizaines, 3 unités.
\(2023 = 2 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 3 \times 10^0\).
Lire un nombre⚓︎
un exemple en base 10
\(12734 = 4 \times 10^0 + 3 \times 10^1 + 7 \times 10^2 + 2 \times 10^3 + 1 \times 10^4\)
un exemple en base 2
\((101010)_2 = 0 \times 2^0 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^5 = 0 + 2 + 0+ 8 + 0 + 32 = (42)_{10}\)
😊 Pas si difficile ! Vous avez appris à convertir un nombre d'une base N vers la base 10.
Notations
Pour préciser dans quelle base sont écrits les nombres, on peut utiliser des parenthèses :
\((42)_{10}=(101010)_2\)
Autres notations possibles :\((101010)_2 = 101010 _{(2)}= 0\text{b}101010 = 101010\text{b}\)
Compter en binaire⚓︎
Quelques exemples
\((1)_2+(1)_2=(2^0 + 2^0)_{10}=(2 \times 2^0)_{10} =(2^1)_{10}= (10)_2\)
\((10)_2 +(1)_2=(2^1+2^0)_{10}=(11)_2\)
\((11)_2+(1)_2= (2^1+2^0+2^0)_{10}= (2^1+2 \times 2^0)_{10}= (2^1+2^1)_{10}=(2 \times 2^1)_{10}=(2^2)_{10}=(100)_2\)
Comptons en base 2
Compter, c'est ... ajouter 1 😊
0; 1; 10; 11; 100; 101; 110; ...
Si on comptait ?
Trouver les entiers qui suivent ceux-ci lorsque l'on compte : 0; 1; 10; 11; 100; 101; 110;
Solution
111; 1000; 1001; 1010; 1011; 1100; 1101; 1110; 1111; 10000; 10001; 10010 ...
Remarquer en décimal
- 99 + 1 = 100
- 999 + 1 = 1000
- 9999 + 1 = 10000 …
De la base 10 vers la base 2⚓︎
Poser les divisions à la main
Petit retour sur les divisions dites "euclidiennes"
Source de l'image : 🌐 Division euclidienne
Méthode par divisions successives
🤔 Etudier l'exemple ci-dessous
👉 On poursuit les divisions jusqu'à obtenir un quotient égal à 0 pour la dernière division.
On lit ensuite les restes, en partant du bas.
Source de l'image : 🌐 Académie de Limoges
Exercices⚓︎
Exercice 1
1110010 est écrit en base 2. L'écrire en base 10.
Solution
\((1110010)_2 = 0 \times 2^0 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^3 + 1\times 2^4 + 1 \times 2^5 + 1 \times 2^6 = 2 + 16 + 32 + 64 = (114)_{10}\)
1110010 en binaire s'écrit 114 en décimal.
Exercice 2
convertir 23 écrit en décimal en binaire
Solution
10111
Exercice 3
234 est écrit en base 10. L'écrire en binaire
Solution
Le nombre 234 écrit en base dix, s'écrit 11101010 en base deux .
Exercice 4
On peut aussi convertir un nombre décimal en binaire en utilisant un tableau.
Exercice 5 : A vous de jouer !
Imaginez vos propres exercices, et vérifiez la réponse ci-dessous.
Des opérations en binaire⚓︎
Les additions⚓︎
Rappel en décimal
Exemples en binaire
\(1100110_2+1111101_2 = ?\)
\(1111111_2+1_2 = ?\)
On a donc \(1111111_2+1_2 = 100000000_2\)
👉 C'est important à remarquer, et cela se généralise évidemment pour tous les nombres constitués uniquement de 1 auxquels on ajoute 1.
Les multiplications⚓︎
💚 A noter
Quand on multiplie en binaire par 2 on écrit un 0 à la droite du nombre, comme pour la multiplication par 10 en décimal.
Les bits et les octets⚓︎
Exercice 1
Pour coder tous les nombres entiers de 1 à 1000, combien de bits faut-il ?
Solution
\((1000)_{10}=(1111101000)_2\)
Il faut donc 10 bits.
Les octets
Dans la mémoire de l'ordinateur les informations sont codées dans des octets. C'est la plus petite unité d'information qu'on peut lire/écrire. Un octet correspond à 8 bits.
👉 Un octet permet donc de coder \(2^8=256\) valeurs différentes.