Entiers relatifs

Note

🤔 Le but est de trouver un moyen, avec des 0 et des 1 de représenter un entier négatif.

Comment coder – 6 ?

I. Une première piste⚓︎

On pourrait imaginer utiliser un bit de signe.

👉 On convient de travailler sur 8 bits, ce qui est plus simple, et ne change rien à la compréhension du principe.

6 est codé sur 8 bits en binaire par :

Question

6 est codé sur 8 bits en binaire par :

Solution

0000 0110

Question

🤔 On peut imaginer de réserver le bit de gauche (de poids fort) au signe, et de lui donner la valeur 0 pour un signe positif et 1 pour un signe négatif.

👉 Avec cette convention, - 6 serait codé sur 8 bits en binaire par :

Solution

1000 0110

Question

Avec cette convention, réaliser en binaire l’opération 6 + (-6) :

Solution

📋 Texte

         11
    0000 0110
  + 1000 0110
  ____________
  = 1000 1100

🌵 Quel est le problème ?

Solution

😭 Le résultat de 6 +(- 6) ne donnerait pas 0, mais - 12

II. Recherche de l’opposé d’un entier⚓︎

Note

💡 On va chercher à trouver une représentation de - 6 sur 8 bits, qui respecte le fait que 6 + (- 6 ) = 0

Pour cela, compléter l'addition "à trou" suivante

📋 Texte

  0000 0110
+
___________
= 0000 0000

Solution

📋 Texte

  1 1111 11
    0000 0110
  + 1111 1010
 ____________
  = 0000 0000

On trouve donc qu'une représentation de - 6 pourrait être :

1111 1010

Le bon choix

💡 C'est effectivement cette représentation qui va être choisie. La méthode est ingénieuse : le 1 le plus à gauche (le bit de poids fort) du résultat "disparaît" car on ne dispose que de 8 bits. Le résultat devrait être 1 0000 0000, mais seuls les 8 bits contenant 0000 0000 sont conservés.

Précision

L'opposé d'un entier, est une sorte de "complément à 0". Ici, en fait, nous avons fait un "complément à 1 0000 0000", c'est à dire en décimal à \(2^8\). Dans la pratique, on dit simplement qu'on a fait le complément à 2.

Généralisation sur \(n\) bits

La méthode se transpose sur \(n\) bits. On fait donc un complément à \(2^n\), qui est toujours appelé complément à 2.

III. Méthode du complément à 2⚓︎

Comment faire ?

Nous allons voir sur notre exemple, une méthode qui donne le même résultat, sans poser l'addition à trou.

Etape 1 : coder 6 sur 8 bits, et donc bien mettre tous les 0 nécessaires à gauche : 0000 0110
Etape 2 : "inverser les bits" : 1111 1001
Etape 3 : Ajouter 1

Exemple

📋 Texte

         1
  1111 1001
+ 0000 0001
___________
= 1111 1010

😊 On retrouve le résultat que l'on avait avec l'addition "à trou"

Résumé : Pour écrire un entier négatif en complément à 2 sur \(n\) bits :

Coder la partie positive de l'entier (sa valeur absolue) sur \(n\) bits en binaire, en rajoutant des 0 à gauche si nécessaire.
Inverser tous les bits.
Ajouter 1.

Vocabulaire : le complément à 1

👉 Inverser tous les bits s'appelle faire le complément à 1. Par exemple le complément à 1 de 1010 1010 est 0101 0101. L'étape 2 consiste donc à faire le complément à 1.

Notations

Il existe plusieurs notations possibles :

\((-6)_{10}=(11111010)_{c2}=(11111010)_{A2}=(11111010)_{cpt2}\) etc.

Le contexte permet de comprendre qu'il s'agit d'un entier codé en complément à 2.

A vous de jouer 1 !

Utiliser la méthode du complément à 2 pour coder sur 8 bits : - 36

Solution

36 sur 8 bits : 0010 0100
Inversion des bits : 1101 1011
Ajout de 1 : 1101 1100

👉 La réponse est donc : 1101 1100

A vous de jouer 2 !

Utiliser la méthode du complément à 2 pour coder sur 8 bits : - 75

Solution

75 sur 8 bits : 0100 1011
Inversion des bits : 1011 0100
Ajout de 1 : 1011 0101

👉 La réponse est 1011 0101

Convertir en décimal un nombre donné en complément à 2

Exemple

Le codage sur 8 bits de - 6 en complément à 2 est : 1111 1010

Calculer : \(- 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^1\)

Qu'obtenez-vous?

Solution

\(- 6\)

Faire un calcul analogue pour - 36

Solution

Le codage sur 8 bits de - 36 en complément à 2 est : 1101 1100

\(- 2^7 + 2^6 + 2^4 + 2^3 + 2^2 = - 36\)

Faire un calcul analogue pour - 75

Solution

Le codage sur 8 bits de - 75 en complément à 2 est : 1011 0101

\(- 2^7 + 2^5 + 2^4 + 2^2+1 = - 75\)

Résumé :

Pour convertir un nombre entier négatif codé en complément à 2 sur n bits en décimal, on procède comme s’il était codé en binaire, sauf que le terme correspondant au bit de poids fort (correspondant au coefficient de \(2^{n-1}\)) est multiplié par -1.

Conséquence : les entiers positifs

Pour convertir un nombre entier positif codé en complément à 2 sur n bits on le code en binaire. Le terme correspondant au bit de poids fort (correspondant au coefficient de \(2^{n-1}\)) doit absolument être égal à 0 (sinon, cela correspondrait à un entier négatif)

Convertir

1. Convertir le nombre 1010 1010 donné en complément à 2 sur 8 bits en base 10 :

Solution

\(-2^7 + 2^5+ 2^3+ 2^1 = -128+32+8+2= - 86\)

2. Convertir le nombre 0110 1010 donné en complément à 2 sur 8 bits en base 10 :

Solution

\(0 \times (-2^7) + 2^6 + 2^5+ 2^3+ 2^1 = 64+32+8+2= 106\)

✏️ Un petit problème :

Essayer de coder sur 8 bits, avec la méthode du complément à 2 : - 135.

Solution

135 sur 8 bits : 1000 0111
Inversion des bits : 0111 1000
Ajout de 1 : 0111 1001

👉 La réponse est 0111 1001

😢 Pourquoi ce résultat est-il impossible ?

Solution

Le bit de poids fort est à 0, ce qui correspond à un entier positif.

Essayer de coder sur 8 bits, avec la méthode du complément à 2 : 130.

Solution

130 en binaire sur 8 bits : 1000 0010

😢 Pourquoi ce résultat est-il impossible ?

Solution

Le bit de poids fort est à 1, ce qui correspond à un entier négatif.

IV. Entiers que l’on peut représenter en complément à deux :⚓︎

Sur 8 bits

Sur 8 bits, le plus petit entier que l’on peut représenter est donc :

\(-1 \times 2^7 + 0 \times 2^6+ 0 \times 2^5+ 0 \times 2^4+ 0 \times 2^3+ 0 \times 2^2+ 0 \times 2^1+ 0 \times 2^ 0= -128 = -2^7\)

Il est codé par 1000 0000.

Sur 8 bits, le plus grand entier que l’on peut représenter est donc :

\(0 \times 2^7 + 1 \times 2^6+1 \times 2^5+ 1 \times 2^4+ 1 \times 2^3+ 1 \times 2^2+ 1 \times 2^1+ 1 \times 2^ 0= 127 = 2^7-1\)

Il est codé par 0111 1111.

Résumé :

Avec \(n\) bits, il devient possible de représenter \(2^n\) entiers compris entre \(−2^{n−1}\) et \(2^{n−1}−1\).

V. Exercices⚓︎

Exercice 1

Les nombres ci-dessous sont codés en complément à 2 sur 8 bits. Les convertir en décimal.

a) \((1111\ 0111)_{cpt2}\)
b) \((1011\ 0101)_{cpt2}\)
c) \((0011\ 0101)_{cpt2}\)

Solution

a) \(- 2^7 + 2^6 + 2^5+ 2^4 + 2^2 + 2^1+ 1=-9\)

b) \(- 2^7 + 2^5+ 2^4+ 2^2 + 1=- 75\)

c) \(2^5+ 2^4+ 2^2 + 1= 53\)

Exercice 2 : le bug de l'an 2038

1. Quel est le plus grand entier positif que l'on peut coder en complément à 2 sur 32 bits ? En donner la valeur exacte en base 10.

Solution

\(2^{31}-1=2~147~483~647\)

2. Que se passe-t-il si on ajoute 1 au nombre trouvé en question 1? Quel nombre représente-t-il en base 10 sachant qu'il est codé en complément à 2 sur 32 bits ?

Solution

\(2^{31}-1 + 1=2^{31}\) est codé par 10000000 00000000 00000000 00000000. Ce nombre est égal à \(-2^{31}=-2~147~483~648\)

3. L'heure Unix ou heure Posix est une mesure du temps fondée sur le nombre de secondes écoulées depuis le 1er janvier 1970 00:00:00 UTC, hors secondes intercalaires. Elle est utilisée principalement dans les systèmes qui respectent la norme POSIX, dont les systèmes de type Unix, d'où son nom. C'est la représentation POSIX du temps.

NB: cette date du « 1er janvier 1970 00:00:00 UTC » est appelée « époque Unix ».

Source : Wikipédia

Le site unixtime permet la conversion entre temps Unix et temps UTC (Universal Time Coordinated ou Temps Universel Coordonné en français)

a) Déterminer la date correspondant à 2 147 483 647 en temps UTC

b) Déterminer la date correspondant à -2 147 483 648 en temps UTC

Solution

a) 19/01/2038 @ 03:14:07

b) 13/12/1901 @ 20:45:52

4 Lire cet article du journal Le Parisien ainsi que cet article de Wikipédia.

Quel est le problème pour les systèmes qui mesurent le temps en temps Unix codé en complément à 2 sur 32 bits ?

Solution

Le 19 janvier 2038 à 3 h 14 min 8 s, temps universel, les systèmes affectés par le bug considéreront alors être le 13 décembre 1901 à 20 h 45 min 52 s.

VI. QCM⚓︎

1. Que peut-on dire de l'entier relatif \(10100001_2\) codé sur 8 bits en complément à deux ?

Cocher la ou les affirmations correctesSolution

a) Cet entier est pair.
b) Cet entier est négatif.
c) Cet entier est positif.
d) Cet entier vaut \(-23_{10}\).

2. Si 1011 est un entier signé sur quatre bits en complément à 2, alors sa valeur décimale est :

3. Donner l'écriture de \(-3_{10}\) en complément à deux sur quatre bits :